矩阵等价(什么矩阵称为等价矩阵)

矩阵等价，什么矩阵称为等价矩阵？

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP(P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵)，那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

1、矩阵A和A等价(反身性);

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性);

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);

4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)；

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解；

6、对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

(2)当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

为什么矩阵等价未必相似？

等价矩阵不一定相似是因为矩阵相似的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量，既然等价，那一定有n个线性无关的特征向量，所以相似；但反过来不成立。

p^-1 * A *p=B，则A与B相似(定义)，其中P为可逆矩阵。

PAQ=B，则A和B等价，其中P和Q为可逆矩阵。

由等价定义可知，若P=Q^(-1)，则A与B相似，但P和Q不是逆矩阵关系，虽然等价，但不相似。

如何判断矩阵合同相似等价？

矩阵等价：PAQ=B；同型矩阵而言；一般与初等变换有关；秩是矩阵等价的不变量，两同型矩阵相似的本质是秩相似；矩阵相似：P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似；矩阵合同：CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

矩阵的等价和相似有什么区别？

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

矩阵等价行列式值相等吗？

不一定相等。

n阶的两个等价矩阵A，B，它们的行列式差一个非零的常数倍，不一定相等。

由A，B等价，则存在可逆矩阵P，Q满足 PAQ=B

两边取行列式得 |P||A||Q|=|B|

令 k=|P||Q|，

则k≠0，且 |B|=k|A|。 扩展资料

性质：

1、矩阵A和A等价(反身性）；

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

6、对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的.而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的