1.数字，计数单位和位值
商代(1500BC~1000BC)甲骨文表明，当时已有比较完整的字系统。从1到10的每个整数，以及100，1000，10000，都有相应的符号表示：在甲骨文中，最大的数是三万。人们能表示三万以内的任何自然数。甲骨文中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊，可见中国古代的数字明显的来源于生产实践。此外人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念。
商代数学中，十进制已相当完善了。对甲骨文的研究表明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程。
周代记数法出现了位值记数．如20世纪70年代出土的一个中山国铜灯铭文中，355记作一个三，连续的两个五，末位的五表示个位五，而前一个五表示五十，两个五间没有用十隔开．这说明当时已有了位值的观念，而所谓的古罗马计数，355就要记载成CCCLV。只是这种位值计数应用不多，还未形成系统的制度。
除十进制外，中国还有十二进制和六十进制，具体使用在“天干地支”记数法里，这种方法主要用于历法，可称干支纪年法。天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。地支就是十二进制，也是使用在时间计算里面，天干与地支相配，共得60个不同单位---以甲子开始，以癸亥告终。然后又是甲子，如此循环不断。中国农历至今还使用这种方法。所谓的苏美尔文明就有抄袭这种六十进制的味道，但他们说不出来历，还有现在的计时方法，也都是来源于这种地支计时。
2.几何概念与定义的表达
《墨经》中就有相当多的几何定义如：(1)“平，同高也”---两线间高相等，叫平．这实际是平行线的定义。(2)“同长，以正相尽也”---如果两条线段重合，就叫同长。(3)“中，同长也”---到线段两端的距离相同的点叫中(点)。(4)“圆，一中同长也”---到一个中心距离相同的图形叫圆。
《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区。此外，《墨经》中还有一些逻辑概念，也是进一步逻辑发展的雏形。“小故，有之不必然，无之必不然。大故，有之必然。”很明显，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件。”大故和小故即充分条件和必要条件的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件。如果抛开西方伪史，那这就是最早的逻辑思维方式。墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也．”即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷；若永远达不到这种程度，叫无穷。
4.有限与无限的概念
《庄子》“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点。其中“大一”、“小一”可理解为无穷大，无穷小。这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小。书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命题，可以看作是对“小一”即无穷小的发挥。一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，可以到无穷小。《墨经》中则反对物质的无限可分。他们认为，如果把一条线段不断分下去，剩余部分小到不能再分为两半，就是端。这个端在线段中间而不在边缘。这就是《墨经》所云“前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也”。很明显，这种思想与近代极限理论是相符的。数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似。所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想。
5.组合的概念
春秋时期成书的《易经》含有组合数学的萌芽。《易经》是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶。“--”是阳爻，“--”是阴爻，合称“两仪”。每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”。每次取三个，生成八卦，每次取六个，则生成六十四卦。四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有n^r种排列法．例如，在两种卦爻中每次取3个，共有2^3＝8种排列，这就是八卦。实际上，若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为：000(坤) 001(震) 010(坎) 011(兑)100(艮) 101(离) 110(巽) 111(乾)，而八卦互相组合，就可以形成64卦，比如既济（上坎下离）010101，所以说周易八卦已经具有了二进制的雏形。
6.先进的算法和计算工具
春秋战国时代，“九九歌”(乘法口诀表）已是家喻户晓的常识了，《管子》等书中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一”起，到“一一如一”止。算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹)，它是中国人创造的计算工具．春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之”(《十发》)，“善计者不用筹策”(《老子》)，等等。1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40根，长短一致，约12厘米，是为算筹之实物。
用筹进行计算称为筹算。据文献记载，筹式有纵横两种：算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，遇零则空位。筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可。筹算乘除法的步骤稍微复杂一些。二数相乘时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位。直到上数各位用完，中间的数便是结果。筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法。此外，算筹还创造性的以红黑两色代表正负，从而是中国率先可以进行正负数的计算。
算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达一千多年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到秦汉时代才逐渐开始被珠算所代替。所谓的古埃及算法，其实就是照搬算筹算法，无非做了一些改动，但没有领悟精神，所以很不实用，也无法计算分数小数除法，所谓古罗马算法也是一样，都有明显的算筹计算的影子，至于算盘，更是中国独创，在汉朝时期就有了记载，算盘的算法来源于算筹，只不过以珠代筹，并且创造性的设立了上位珠，一珠代五。有兴趣的可以自己去看看，非常明显，发展的脉络和调理十分清晰。算盘就可以取代算筹，而古罗马的不知真假的所谓沟算盘，充其量只能计数，计算过程依然要依靠竖式计算，从严格意义上不能称为算盘。就好像莎草纸并不是纸一样。
7.先进的绘图工具和测量单位
规、矩是两种测绘工具。规即圆规，矩是直角拐尺，用来画直线形。商代甲骨文中已有规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经出现。春秋战国时期，这两种工具被普遍用于测量和几何作图。此外，汉朝就有类似今天游标卡尺的测量工具，而且中国很早就统一了度量衡，仞丈尺寸厘毫分这样一套完整的由大到小的测量单位，而且比例固定统一，使得标准化绘图成为可能，比例的概念则源于周髀算经。而同时代以及中世纪西方则以肘尺腕尺这些以身体长度为单元，彼此之间换算关系不固定的几何单位，根本就不可能进行精确的测量和绘图，又如何能横空出世的发展几何原本呢？
8.早期严谨的计算公式和总结
《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作。髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》。唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》。在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书，在书中，这个公式是用来计算进行天文测算的。该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之。”而且中国后期的航海牵星术，依然使用的是勾股定理，如果西方人也发现了这个定理，为啥从不见他们具体运用呢？在没有中国航海牵星术传播之前，他们连跨越地中海都十分困难。更别说远涉大洋，元末罗马教宗使团，最后还是快要完蛋的元朝用海船送回去的，你说中国古代咋可能没去过地中海，当然，扯远了。
《周髀算经》中的“七衡”涉及等差数列。七衡是七个等距离的圆，书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径。二之以增内衡径，得三衡径。次衡放(仿)此。”这相当于给出通项公式 Dn＝D1＋(n-1)·2d，其中d为相邻两圆间的距离。
所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，为制订历法服务。内插分两种---等间距内插和不等间距内插。等间距指的是自变量的间距相等。设自变量x，等间距h，函数关系为f，若函数值之差 f(x＋nh)-f(x＋(n－1)h)(即一次差，其中n=1，2，…)为一不等于0的常数，则用一次内插法；若这些函数值之差的差(即二次差)为一不等于0的常数，则用二次内插法，依此类推。用现代数学的观点来看，n次内插法反映的是n次函数关系。
《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法。已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影长，推算其他节气的日影长。已知函数f（x）在自变量是x1，x2，……xn时的对应值是f（x1）。f（x2），……f（xn），求xi和xi＋1之间的函数值的方法，称作内插法。如果xn是按等距离变化的，称自变数等间距内插法；如果xn是接不等距离变化的，称自变数不等间距内插法。例如f（x）＝x³，当x＝1，2，3，4，5，……时x³＝1，8，27，64，125，……求x＝4.26时x³＝（4.26）的值，就可以应用等间距内插公式。等间距内插法的一般公式是：从n级差分的定义容易得到，当f（x）是一次函数时，二级差分是0；f（x）是二次函数时，三级差分是0；f（x）是n次函数时，n＋ 1级差分是0。
我国古代历法工作者，为了制定一个好的历法，很早就应用内插法的公式. 朔、望跟制定历法和计算日、月食有密切关系。怎样确定合朔的准确时刻，一直是历法中一个重要的项目。根据一个朔望月的平均日数来确定会朔时刻，叫做'平朔'。
早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数。刘洪测出月球在一个近点月（月球从近地点出发绕地球运行一周又回到近地点的时间间隔）里每日运行的度数。设日数是n，n日共行的度数是f（n），对n＋s（s＜1）日月球运行的度数，刘洪应用下列一次内插公式f（n＋s）＝f（n）＋s△，进行计算，其中△是一级差分f（n＋1）－f（n）。刘洪以后，三国时期的杨伟，南北朝时期的何承天、祖冲之都是用这个公式计算月行度数的。中国隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。唐初王孝通的《缉古算经》，王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。《授时历》把冬至到春分（共88.91 日）这一象限分成六段，测出每段太阳的实际运行度数，就可以算出以段为等间距的差分表。从表中知道，三级差分都相等而四级差分等于0，因此考虑f(t)=d+at+bt2+ct2。实际上，f（0）＝0（第0段的运行度数是0），可见d＝0.所以 f(t)=at+bt2+ct3。这样就可以变三次函数为二次函数。用二次内插公式便可以算出F（t）的具体表达式，从而得到 f（t）＝tF（t）＝513.32t－2.46t2－0.0031t3。 令t＝0，1，2，3，按差分的定义便可以求出f（0），△1，△2，△3（△4＝0），继续按差分定义，用加减法就可以得出以日为等间距的差分表。郭守敬主持编定《授时历》，一年的周期与现行公历基本相同，但问世比现行公历早300年。
9.完善的学校教育
唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。
所以，中国古代数学才是现代数学的根基，而且具有明显的技术发展成熟的线路，合情合理，一步步逐步发展成一个相对完备体系，而且中国古代数学始终体现在来源于实践又运用于实践，检验之后再修正，天文历法的内插法就很典型，所以写的多了点。而且中国古代数学，传承脉络很清晰，周髀，九章，不断的有人研究注解。再反观西方所谓的古代数学，完全就是割裂式的突然出现，突然消失，看不到来源，看不到运用，欧几里得的几何之前，没有人有这种思想和专著，欧几里得的几何之后，又是彻底失传，完全不符合客观发展规律，而且古希腊古罗马，也没有完善的计数单位，位值进制，制图工具和测量单位，凭什么发现复杂的数学原理公式和证明呢？古罗马的竖式除法，只能进行整数的计算（大家有兴趣可以看看我在前面算盘的历史里面的描述），根本就没有可能满足他们所谓无理数的发现和计算。芝诺的飞矢不动明显的抄袭痕迹，在基本不用弓箭的环境，何来飞矢。
细细复习古希腊古罗马数学史，就会发现很多的漏洞，再比对中国古代数学史，谁才是自然生长出现，谁是抄袭托名堆砌，一目了然，除非视而不见。所以，现代数学的基础是也只能是中国古代数学，当然换了些符号，有些人就不认帐了，那怎么行。
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