半正定矩阵(0是什么意思)

半正定矩阵，0是什么意思？

A>0表示矩阵A为正定阵，A>=0表示矩阵A为半正定阵。

A<0表示A为负定矩阵。

具体见《矩阵论》（戴华版P151）

矩阵乘转置矩阵的特征值？

矩阵乘转置矩阵是半正定对称矩阵，其特征值非负。

实对称矩阵一定是正定半正定矩阵吗？

不一定，实对称阵的定号共有五种：正定、半正定、负定、半负定、不定。

正定矩阵的问题？

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令a为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称a负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵e 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在u使 即 有 这就证明了a正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。

2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。

证明：a正定 二次型 正定 a的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵u使 ；进一步有 （b为正定（半正定）矩阵）。

证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使 令 则 令 则 反之， ∴a正定。

同理可证a为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素 ，且 。

证明：

（1）∵n阶对称矩阵a正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有 ∴ ∴a正定 ∴存在可逆矩阵c ，使 5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即a的顺序主子式全大于零。

构造正定矩阵的方法？

判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种

行列式法

对于给定的二次型

，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。