西姆松定理(三角形垂心面积比公式原理)

西姆松定理，三角形垂心面积比公式原理？

设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、

C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.

1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一-垂心组)。

6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现)。

11、西姆松定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

12、 设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

其实直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。

几何11个定理？

1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

2.三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

3.“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

4.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

5.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

6.圆周角定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

7.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

8.定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

9.定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

10.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

11.定理 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

初中数学几何图形在证明时有哪些技巧？

初中几何题，尤其是几何证明题，灵活多变，花样最多，看似简单，深不可测，就连最优秀的初、高中数学老师都不敢说悉数掌握！也是奥数的难点。往往有这样的特点，若不会或想不到对路的几何方法，企图转化成解析法、三角法、向量法、复数法、微积分法等等其它方法，很容易误入岐途，出力不讨好。

对于难度大的几何证明题，首先要分析条件和结论的关系，找到途径。两者的形式值得关注。形式复杂，看不出关联，就要分别对条件和结论做简化、变形处理，称为拆题，一直划归到简单的、特殊的，或熟悉的情况。

第二，充分运用特殊性。1.特殊的三角形、四边形：如等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，黄金三角形，直角三角形，倍角三角形，倍外角三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆内接四边形，圆外切四边形，调和四边形等。2.特殊的角：如90°角、60°角、30°角、补角、二倍角等。3.特殊的线：如三角形的中线、角平分线、高、中位线，梯形中位线等。4.特殊的点：如线段的中点、三角形的五心(外心、重心、垂心、内心、旁心)，还有四点共圆，用处很大。

第三，学会作辅助线的一些经典方法。如减肥法，拼图法，折半法，加倍法，加长法，截短法，多种几何变换如平移、旋转、轴反射、位似、位似旋转、反演变换、仿射变换、射影变换(几何形式)，面积法，重心法，反证法，同一法，当然还有涉及顺序的方法，如比较法，分析法，综合法，两头凑等。对于含多个独立变量的难题，还要用控制变量法，从特殊到一般，先退后进。

第四，熟悉初等几何的著名定理，如梅涅劳斯定理，塞瓦定理，斯特瓦尔特定理，托勒密定理，拜拉维提斯定理，蝴蝶定理，欧拉线，西姆松线，笛沙格定理，帕斯卡定理，九点圆定理，费尔巴哈定理，等等，当然越多越好，重点是灵活应用。

此外，多关注国际奥数、国内联赛的动态。

为此，最好多做一些成功的积累，力求举一反三，推陈出新。初期，方法不限，不怕费周折，只要求做对。达到一定高度后，还要求简明、直接，讲究本质证法(能推广)，追求简单之美(几何的灵魂)！

什么是几何图形重心外心中心垂心？

1.牛顿线：完全四边形三条对角线中点共线。

2.九点圆：在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆（nine-point circle）

3.欧拉线:三角形的外心、重心、垂心、九点圆圆心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

4.帕斯卡定理：圆内内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线。

5.西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）

6.泰勒圆：三角形每条边上的高线的垂足在另两边上的射影，共有六点，必在同一圆周上，这个圆叫做三角形的泰勒圆(Taylor's circle)

7.曼海姆定理：一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心。若它与外接圆内切，即为内心；外切即为旁心。

8.蒙日定理：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线且不为同心圆，则三条根轴互相平行。

9.婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

这些都是数学竞赛中非常经典的几何定理，大部分都不难证明，大家可以自己试一试。

全等四边形性质？

1，完全四边形中四个三角形的外接圆共点，此点称为密克点。

2，完全四边形中四个三角形的垂心共线，称为垂心线。

3，完全四边形的一条对角线被其余两条对角线调和分割。

4，过完全四边形的密克点作四个三角形的西姆松线，所得四线重合，称为完全四边形的西姆松线。

5，完全四边形的西姆松线与垂心线平行。

6，完全四边形的任一组“对节”在西姆松线（或垂心线，因为它们平行）上的射影，其长度总保持相等。

7，完全四边形三条对角线的中点三点共线，这条直线与完全四边形的西姆松线、垂心线垂直，这条线称为牛顿线。

8，梅涅劳斯定理。

9，完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上，此线称为完全四边形的垂足线。垂足线与牛顿线垂直。

10，完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆，这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分布在构成完全四边形的四条直线上，且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等。

11，在完全四边形ABCDEF中，点G是对角线AD所在直线上异于点A的任意一点，则cot∠AGC+cot∠AGF=cot∠AGB+cot∠AGE

12，完全四边形的四个三角形的外接圆圆心构成的四个三角形分别与完全四边形的四个三角形相似。

13，在完全四边形ABCDEF中，四边形ABDF有内切圆的充要条件是下列两个条件之一：

（1）BC+BE=FC+FE.

（2）AC+DE=AE+CD.

14，在完全四边形ABCDEF中，四边形ABDF有内切圆的充要条件是三角形ACD的内切圆与三角形ADE的内切圆相切。