排列与组合(排列组合有哪些方法和技巧)

排列与组合，排列组合有哪些方法和技巧？

N个相同元素分为M堆，每堆至少x个，可以分为

鉴于公式不好理解，下面有一个顺口溜仅供参考

一个顺口溜：

比1大-，比1小+

一共几个+-差的几倍

看文章之前看一下以下题目你是否会做:

1.a+b+c+d=10该方程的正整数解有多少种？非负整数解又有多少种？

2.将10本相同的书分给4个班级，要求每个班级至少两本书，共有多少种排列方法？

3将十个相同小球中放入1、2、3三个盒子 小球数目不得少于该盒子的编号，有多少种放法？

如果思路清晰的话就不用向下看啦~

怎么样？有没有什么思路！如果没有，请读三遍一下我标黑的两个词“相同”“至少”你有没有联想到什么呢？！对啦，就是-----隔板法。

隔板法定义：n个相同的元素分为m堆，每堆至少一个，则有 种方法

逐 个 扣 字：

①有若干个相同的元素；如果题目是把四本不同的书送到三个不同的地方中则不可以用隔板法。

②每组中至少有一个元素；即我们之后要说的“空箱”“至少n个”不可以直接用公式解决。

③元素不能有剩余。

鉴于有些同学不懂隔板法，我介绍一下：

来一道最简单隔板法试试手：

10个相同的小球放入8个盒子中，每个盒子中至少一个，几种方法？

再来一道有点点点点绕的：

例一： a+b+c+d=10的正整数解有多少个？

我们可以理解为有10个相同的1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将其分为4组，有多少种方法？

千万注意，这里就不要排列了！！不要乘A（排列数）了！！！！

下面就是升级版（）：

1.至少有多个2.空盒问题3.每个盒子里最少的数量不同

在以上三种题型中，不难发现，题目的要求从至少一个变成至少0个或至少多个。可以用映射的思想（评论区留言），下面我解释一下

或者可以用换元法理解：

如果仍然不懂，我们可以直接套口诀

有n个盒子，每个至少1+x个，则球的总个数减去nx，再使用最基本的公式。

有n个盒子，每个至少0个（可以空盒），则球的总个数加nx，再使用最基本的公式。

至少有多个

例二:将10本相同的书分给4个班级，要求每个班级至少两本书，一共有多少种排列方法？

原题可等价为 =10（ ）这样的解有多少个(x分别代表分给每个班书的数目)

x-1

（使用条件） 令x-1=y （y

1）

方程等价为

化简得

即将6本相同书分给4个班级，每班至少1本=

口诀：至少2个，比至少一个多1个，有四个盒子，10本书，即10-1*4=6。

等价于6个相同的书分给4个班级，每个班级至少一个。

空盒

（至少放入0个即可以没有）

a+b+c+d=10的非负整数解有多少个？（要求每一个数字≥0）

a≥0-----a+1≥1------设A=a+1(A≥1)同理，换元另几个字母

得到A-1+B-1+C-1+D-1=10

A+B+C+D=14-----------有

种方法

口诀：至少0个，比1小1，一共4个盒子，10个球。即10+1*4=14。

等价于：14个球放四个盒子，每个盒子至少一个。

类似：现有8个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，允许出现空盒，问有多少种不同的放法？

每组至少放的个数不同

.将10个小球分别放入编号为1.2.3的盒子中，要求每个盒子里的小球数目不得少于该盒子的编号，有多少种放法？

等价为a+b+c=10 (a≥1)(b≥2)(c≥3)

换元：a本身就符合条件，不用换元;B=b-1;C=c-2

a+B+1+C+2=10---------------a+B+C=7---------

口诀：一个盒子至少一个，一个至少需要比1大1，一个至少需要比1大2。10-0-1-2=7

等价于7个小球放3个盒子，每个至少一个。

高中数学排列与组合公式？

高中排列组合公式是：C(n，m)=A(n，m)/m!=n!/m!(n-m)!与C(n，m)=C(n，n-m)。

例如C(4，2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6，C(5，2)=C(5，3)。

排列组合c计算方法：C是从几个中选取出来，不排列，只组合。

C(n，m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!

例如c53=5*4*3÷(3*2*1)=10，再如C(4，2)=(4x3)/(2x1)=6。

两个常用的排列基本计数原理及应用：

1、加法原理和分类计数法：

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务，两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)，完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

2、乘法原理和分步计数法：

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，各步计数相互独立。只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

排列与组合怎样理解？

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列与组合一个最大的区别就是有没有顺序以一个吃水果为例假设有4种水果：苹果，香蕉，西瓜，橘子比如你每顿饭可以选2种水果，你有多少种选发了，那就要用组合，C6选2=15比如（苹果，香蕉）=（香蕉，苹果），具体的就不全部列举但是，每顿饭可以种2种水果，先吃什么，后吃什么，有关系这时候就要排列（苹果，香蕉）不=（香蕉，苹果），有A6选2种=30

组合和排列的计算公式？

排列的定义：从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列，所有排列的个数记作：A(n,m)

组合的定义：从n个不同元素中任取m个的组合数（顺序无关）记作：C(n,m)

A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

C(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)÷(m!)=A(n,m)÷A(m,m)

首先讲一下如何理解记忆这两个计算公式，如果学过定义新运算，应该很容易理解。

排列：从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列

根据乘法原理，第一个位置有n种选法，第二个位置有n-1种选法，…，第m个位置有n-m+1种选法。

所以排列数A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。

排列公式和组合公式计算方法？

排列的定义：从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列，所有排列的个数记作：A(n,m)

组合的定义：从n个不同元素中任取m个的组合数（顺序无关）记作：C(n,m)

A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

C(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)÷(m!)=A(n,m)÷A(m,m)

首先讲一下如何理解记忆这两个计算公式，如果学过定义新运算，应该很容易理解。

排列：从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列

根据乘法原理，第一个位置有n种选法，第二个位置有n-1种选法，…，第m个位置有n-m+1种选法。

所以排列数A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

例题：利用数字1～9共可组成多少个无重复数字的三位数。

用排列来算就是A(9,3)=9×8×7=504

乘法原理：百位9种选法，十位8种选法，个位7种选法。所以9×8×7=504

组合：从n个不同元素中任取m个，组成一组(顺序无关)

根据排列或乘法原理，可知有顺序的有A(n,m)种。m个元素有A(m,m)种不同排法，算组合时这些只算一组。所以去掉重复

C(n,m)=A(n,m)÷A(m,m)

例题：10支队伍进行单循环比赛(每两队赛一场)，共进行多少场比赛如果考虑顺序，从10支队里选2支共有A(10,2)种方法，或乘法原理10×9。但是其中先选甲后选乙，与先选乙后选甲是同一场比赛，所以去掉重复(2支的排列数)。

C(10,2)=A(10,2)÷A(2,2)

虽然看起来用乘法原理也一样可以算出来，但是做一些比较复杂的题时就能看出排列组合的威力了。

例题：尚品中学的4名优秀学生全部保送到3校（育才，实验，二中），每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

利用排列组合，四名学生分成3组有C(4,2)种方法，三组学生分配三所学校有A(3,3)种方法，所以结果应该是C(4,2)×A(3,3)。接下来已经与题目无关，只是单纯的计算，和列方程一样。它有什么好处呢，如果说不会算三组学生分配三所学校，那么这道题我们就可以放弃了，而不必先花时间把四人分3组的数算出来。不仅是考试时节省时间，而且有助于从整体上看清解题步骤。