复合函数求导(什么是复合导数)

复合函数求导，什么是复合导数？

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）

复合函数求导(什么是复合导数)

三个复合函数相乘怎么求导？

链式求导：设z=f(y),y=φ(x)；x=ψ(t)；那么：dz/dt=(dz/dy)(dy/dx)(dx/dt).在解放前，导数不叫导数，叫微商，即微量之商的意思。因此可把这串导数式看成一串分式作连乘，把相邻的分母和分子约掉，即得dz/dt.

复合函数的求导法则怎么证明？

复合函数的求导法则证明：例如：要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->

0设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)

h同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)

k所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）

所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]当h->0时，u和v都->0，这个容易看。所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]=f'(g(x))·g'(x)然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)证毕不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。