全微分的几何意义(第一微分原理)

全微分的几何意义，第一微分原理？

1. 几何意义

在二次平面的一条曲线，我们可以考虑它在每一点的斜率的改变。

假设曲线的方程为y=f(x)。在x=t时，y=f(t)。曲线上的点A的坐标为(t,f(t))。考虑把t增大少许。当x=t+h时，y=f(t+h)。曲线上点点的坐标为(t+h,f(t+h))。那么连起A和B的线的斜率就是

(f(t+h)-f(t))/h

当A和B的距离越来越小，也就是说h越来越接近0，那么AB就越来越接近曲线，也越来越接近曲线在A点的切线的斜率。在此，我们可以接入极限

lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h

这一点就是曲线在A点的切线的斜率。同时，这亦是微分的"first principle"

2. 写法

一般我们考虑对f(x)微分时，会写df(x)/dx

3. 性质

你可以尝试由first principle 得到下列性质

1. d/dx (x^n) = nx^(n-1)

2. d/dx (sinx) = cosx

3. d/dx (cosx) = -sinx

4. d/dx (tanx) = sec^2 x

等等

范例：由first principle证明 d/dx ( sinx) = cosx

d/dx ( sin x)

=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h

=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化积)

=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)

=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]

=lim h->0 cos[x+(h/2)]

=cosx

上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一个很著名的结果，你可以试着证明。

4. 链法则 ( Chain rule)

当我们考虑df(y)/dx 的时候，可以怎样做呢？

我们可以运用链法则

du/dx=du/dv * dv/dx

例子：

d/dx ( cos^2 x)

=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx

=2cos x * (-sinx)

=-2sinxcosx

上面就用到了链法则，这是细微分

微分几何中的克氏符是什么东西？

克氏符基本上代表惯性力。

回顾一下惯性力的概念，它是在非惯性系下物体做惯性运动时，用坐标系测量的加速度所对应的力。

所以它本质上就是某种加速度，或者称为真正的惯性运动与非惯性坐标系下naive的“惯性运动”之间的差。这两种运动分别对应于协变导数和坐标导数。所以惯性加速度对应的就是克氏符。

给定坐标下的测地线方程给出的就是该坐标下的各种惯性力：如果克氏符只有00分量则表现为牛顿引力这种不依赖于速度的惯性力；如果有0i分量或ij分量，则对应于速度依赖的惯性力，比如克里奥利力（一次速度依赖）和离心力（二次速度依赖）。

一阶偏导数存在是可微的？

可微 与 一阶偏导连续 等价

所以可微可推出偏导存在

但偏导存在不能推出可微

对于一元函数来说，可导和可微是等价的，而对多元函数来说，偏导数都存在，也保证不了可微性，这是因为偏导数仅仅是在特定方向上的函数变化率，它对函数在某一点附近的变化情况的描述是极不完整的。

1，偏导数存在且连续，则函数必可微！

2，可微必可导！

3，偏导存在与连续不存在任何关系

其几何意义是：z=f（x，y）在点（x0，y0）的全微分在几何上表示曲面在点（x0，y0，f（x0，y0））处切平面上点的竖坐标的增量！

复数的导数的几何意义？

研究一个函数当然是先研究它的连续性 可导性。对于复变函数，f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其导数定义为lim f（z+dz）-f（z）/dz, 在这里 dz 向z点得趋近方式是任意的 ，也就是说可以沿直线 也可以沿曲线。如果上面那个极限存在 那么它的导数存在。它的导数没有明显的几何意义 因为复变函数f（z）本来就是一个复数。但用上面的求极限方法判断并求其导数不是最好的，所以又有判断一个函数是否可导的充要条件：其实部和虚部u（x，y）v(x,y)在（x，y）处全微分存在 并且Ux=Vy，Uy=-Vx，这样其导数就可以导出：f’（z）=Ux（x,y）+iVx(x,y). 也是一个复变函数 如果你继续学习复变函数后面的知识 你会知道如果一个复变函数在D内是解析的 那么f（z）的任意阶导数在D都是解析的。

微分几何的正常点定义？

设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx)