jensen不等式(数学期望的十种性质)

jensen不等式，数学期望的十种性质？

数学期望（也称为均值）作为概率论和数理统计中的一个重要概念，在计算中具有以下十种性质：

1. 线性性：若X和Y是两个随机变量，a和b是任意两个实数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。即数学期望有可加性和可乘性。

2. 非负性：对任何非负随机变量X而言，数学期望E(X)必定大于等于0。

3. 单调性：如果X是一个随机变量，且对于任何$X_1≤X_2$的情况，有$E(X_1)≤E(X_2)$。

4. 可加性：如果X和Y是两个互相独立的随机变量，则有：E(X+Y)=E(X) +E(Y)。

5. 常数乘法：如果X是一个随机变量，a是任意一个固定常数，则有：E(aX)=aE(X)。

6. 鞅性：如果S是一个固定时期的鞅，则有：E(S_T)=S_t。

7. 稳定性：如果X和Y都是随机变量,则有 E（X+Y）= E（X）+ E（Y）。

8. 传递性：如果X、Y是两个随机变量且X ≤Y， Z是另一随机变量，则有 E(X) ≤ E(Z) ≤ E(Y)。

9. 有限可加性：如果X1,X2,…,Xn是一些互相独立的随机变量，且E(Xi)存在，则有 E($\sum_{i=1}^n X_i$)= $\sum_{i=1}^nE(X_i)$。

10. 刻画方法：数学期望是在所有具有相同随机分布的函数中，使函数取值与分布概率乘积之和最大的函数值。

什么是jensen不等式？

（Jensen）不等式 如果f(x)在(a,b)上是凸函数，x1，x2都在(a,b)上，证明不等式：f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立.

证明：证明f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立可以转化为证明f[(x1+x2)/2]-f(x1)≥f(x2)-f[(x1+x2)/2]成立.不妨设x1

怎样证明凸函数？

1. 利用二阶导数的定义：如果函数的二阶导数恒大于等于零，那么该函数是凸函数。具体而言，对于定义域内的任意 x，如果函数 f(x) 的二阶导数 f''(x) 大于等于零，则该函数是凸函数。

2. 利用 Jensen 不等式：如果对于定义域内的任意 x 和 y，以及 0≤θ≤1，有 f(θx + (1-θ)y) ≤ θf(x) + (1-θ)f(y)，则函数 f(x) 是凸函数。这个不等式表明函数的值在两个点的线段上，不超过这条线段连接的两个点在函数上对应点的值。

3. 利用一阶导数的定义：如果函数在定义域内的任意两点上连线上的值不超过这两点在函数上的对应值，那么该函数是凸函数。具体而言，对于定义域内的任意 x 和 y，如果 f(y) ≥ f(x) + f'(x)(y-x)，则该函数是凸函数。

已知a＞1？

a、b>0，且a+b=1，

构造上凸函数f(t)=1/(t^2+1)，

则依Jensen不等式，得

f(a)+f(b)≤2f[(a+b)/2]=2f(1/2)

?/(a^2+1)+1/(b^2+1)≤2/[(1/2)^2+1]=8/5.

故所求最大为: 8/5。

利用詹森不等式证明其他不等式怎么设函数？

利用Jensen不等式时，构造函数要依具体情况而定.比如“已知x>0、y>0，且x+y=1，证明(x³+1/x)(y³+1/y)≥289/64”，则可设下凸函数f(t)=㏑(t³+1/t)。