最小二乘法原理（两个变量的线性相关）

董正林（深圳市第二高级中学）

教材：数学·人民教育出版社A版（2007年第3版）·必修三·第二章第三节

摘要：文章从最贴近学生实际的统计案例出发，精心设计问题链，逐步引导学生自主发现问题、合作探究问题、最终解决问题．其间大量应用现代信息技术手段（图形计算器），不仅使教学效率和课堂容量得以显著提升，也让教学流程呈现出与传统教学大不一样的新面貌．作为案例教学，文章在紧扣“问题解决”这条主线的同时，还尤其注重数学思想、数学文化的渗透．

关键词：线性回归方程；最小二乘法；图形计算器；统计案例教学

教学内容解析

本课作为“变量间的相关关系”第2课时，在此前的学习中，学生已经能够理解相关关系这一概念，能通过绘制散点图对其进行直观及定性的描述。例如，根据散点图判断两个变量间是否存在相关关系，是正相关还是负相关等．那么接下来从定量的角度来研究相关关系是很自然的．在这个过程中可以渗透多个重要的数理统计思想，即随机抽样及用样本估计总体等，可以说本节课在教材中的地位是以统计案例的形式全面整合已学的统计知识与思想．

我们可以用一条直线来近似代表变量间的线性关系，从而实现对相关关系进行定量研究的目的．显然，在整体上与样本点最接近的直线能最大程度地近似代表真实关系．为此我们需要建立一个量化标准，也就是对“从整体上看，直线最接近样本点”进行精准的数学语言刻画．这样量化标准有很多，最经典也是最常采用的就是最小二乘思想．

以最小二乘法建立起线性回归方程后，我们就能对所研究的问题的总体情况进行预测．将解释变量代入回归方程计算得到一个数值并不难，更重要地是学生需要正确理解预测值的含义，明确预测值只是实际值的一个近似，是对总体情况的一种估计．

基于上述分析，将本节课的教学重点定为理解回归直线只是对相关关系的一种近似描述，最小二乘法只是确定回归直线的一种方法，理解回归方程的含义以及背后蕴含的统计思想．教学难点则是对“从整体上看，直线与样本点最接近”进行数学刻画，并在这个过程中引出最小二乘法这一重要数学思想．

教学目标设置

1．课程目标

学生通过对统计知识的学习，掌握一种认识客观世界的重要思维模式（随机思想及用样本估计总体的思想等）和解决问题的方法．

2．单元目标

（1）掌握最基本的获取样本数据的方法，以及从样本数据中提取信息的统计方法（例如，线性回归分析及独立性检验等）；

（2）通过具体的统计案例让学生掌握最基本的统计概念和思想。例如，用样本估计总体，并学习如何用数学知识去定量刻画实际问题；

（3）认识到概率知识是各种统计方法的理论基础．

3．课堂教学目标

（1）了解（线性）相关关系、回归直线、回归方程等基本概念；

（2）认识最小二乘法的思想；

（3）能熟练操作图形计算器进行绘图，计算回归方程；

（4）理解回归方程的随机性以及用样本估计总体的思想．

学生学情分析

本课纯粹知识层面的内容并不多，但涉及许多重要且新颖的数学思想方法，有些思想方法与学生已有的认知基础偏离较远。例如，学生已经习惯了一个问题无论有多少种解法，答案都是唯一确定的，但本课需要学生实现由确定性思维向统计思维的转变，因此学生要真正做到建构知识体系、抓住本质问题、理解核心概念不是一件容易的事情．此外，学生对大量的样本数据、复杂的公式结构以及代数运算可能心存畏惧，这些都会影响到课堂教学．有利的地方在于学生已经学习过方差的概念，能够理解用平均数去估计总体数字特征，以此作为其思维的最近发展区，便于其更好地认识最小二乘思想．同时，学生对新知识的旺盛求解欲望及对问题进行积极思考的态度也是顺利完成本课的重要保证．

教学策略分析

根据学生情况，为了更好地达成教学重点和突破教学难点，本课采用如下教学策略。

1．注重由特殊到一般的思维引导

本课以预设问题链激发学生思考并推动课堂教学．问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生先判定有限个方程中哪个方程的拟合效果更好，然后再推广到一般情形，探究如何在所有直线中寻找最佳直线．

2．强调实验探究，主张在学生自主活动的基础上进行思考和领悟

例如，让学生在散点图中任意添加直线并求其方程，经过实验，就会发现每个人求得的直线都不一样，从而很自然地触发讨论，即如何建立起量化标准，用数学知识来度量到底哪一条直线才是最接近样本点的，最终获得最小二乘思想．

3．采用类比思考法

将最小二乘法与方差的概念进行类比，将用最小二乘意义下的回归直线来近似代表两个变量间的线性相关关系这一原理与以多个测量值的平均值作为某物理量真实值的估计进行类比．通过类比帮助学生更好地理解数学思想，提升思维品质．

4．注意几何直观与代数运算的相互转化

例如，将回归直线并不经过所有的样本点这个几何问题代数化为由回归方程计算出来的值与实际值存在偏差，将比较各点偏差的绝对值之和这个代数问题几何化为样本点与直线间的斜线段的长度和最小等．

5．应用现代教育技术手段

本课内容涉及大量的图形绘制与复杂的数据运算，用传统教学手段既耗时费力，又难以有效推进教学．TI-图形计算器的强大功能为数据的快捷处理提供了技术支持，让学生有更多的时间来探究及交流，便于达成教学目标．图形计算器在本课的应用包括如下几个地方。

（1）搭建无线网络平台，实现数据的实时上传与共享，即借助图形计算器的“即时调查”功能，现场收集学生的身高及体重数据，并将汇总后的数据实时下发给学生，一方面为本课学习营造一个真实的案例，另一方面也避免了大量数据的手工逐一输入．

（2）运用图形计算器的“图形”功能，快速绘制散点图，从散点图中发现样本点大致分布在一条直线附近．在此基础上，让学生凭直观感觉，在散点图中任作一条与样本点整体上最接近的直线，并通过“坐标与方程”功能得到该直线的方程．经过操作学生自会发现，每个人眼中的直线都不一样，到底哪一条直线才是最接近的需要建立起量化标准，用数学语言来精准度量，从而很自然地触发讨论，最终引出最小二乘思想．

（3）利用图形计算器，进行快速计算．包括在“列表与电子表格”中调用sum()函数求和；利用“统计计算/线性回归”功能直接求出一组数据的线性回归方程；尤其值得一提的是，在“计算器”页面中调用completesquare()函数可以实现对多项式的快速配方，这样我们就可以选取三个特殊样本点，对目标函数进行配方，帮助学生更好地认识系数公式的来历．

教学过程与设计

1．创设情境，激发思考

教学伊始，教师借助图形计算器（笔者教学中使用TI-Nspire™ CM-C CAS中文彩屏版）的“即时调查”功能发起现场调查，收集班级学生的身高体重数据．学生在手持端输入数据并选择提交．教师将数据汇总后传输给学生．学生接收数据，绘制散点图（以身高为x轴，体重为y轴），并思考回答下列问题：

（1）体重与身高间是否具有一定的相关性？

（2）体重和身高之间是不是函数关系？随着身体增高，体重是否一定增大？

（3）假设我们的抽样方式合理，如何根据样本数据推断某一特定身高（例如，175cm）的高中生的大致体重？ 能否估计身高每增加一定高度（例如，10cm），体重大约增加多少？

（4）如果要用一个函数模型来近似地描述这两个变量之间的相关关系，你会选择哪种常见的函数类型？

【设计意图】现场搜集数据，创设与现实生活密切相关的问题情境，激发学生学习兴趣，同时回顾相关关系的相关概念及其与函数关系的区别，引导学生用函数模型来近似描述相关关系，从而达到定量研究的目的．

2．数学实验、提出问题

引题：如图1所示，在直线l1和l2中，哪一条能更好地近似表现x，y之间线性关系？ 为什么？

生：l2．因为它与样本点最接近．

师：l2是与某一个样本点最接近吗？

生：不是，l2只是与所有样本点在整体上最接近．

【设计意图】以直观的例子让学生明确：只有在整体上与样本数据最接近的直线才能较好地近似变量间的真实关系．

实验：根据直觉，在刚才绘制的关于体重—身高的散点图中添加一条你认为在整体上最接近样本点的直线，并求出该直线方程．

实验操作：以TI-Nspire™ CM-C CAS为例，按“文档”→选“4：插入”→选“7：数据与统计”；横轴变量名选择“身高”，纵轴变量名选择“体重”，即可得到散点图；在散点图页面，按“菜单”→选“4：分析”→选“2：添加可移动线”，然后移动光标，拖动直线到自认为最接近样本点的位置即可，相应的直线方程实时显示．

学生动手操作，教师随机展示几个学生的实验结果．学生观察后会发现每位学生所认为的最接近样本点的直线都不一样，由此产生到底哪条直线才是最接近样本点的疑惑学生带着这样的问题开启了知识探究之旅．

代表性的样本是必要的，由此复习随机抽样的重要性，并体会用样本估计总体的思想．

5．知识总结、作业分层

师生共同回顾本课所学知识、方法与思想．教师明确点出整个线性回归的流程本质上讲是一种数学建模的过程．

作业布置

略．

参考文献：

[1] 刘绍学．普通高中数学课程标准实验教科书·数学3必修 [M].北京：人民教育出版社（A版）．2007.

[2]连春兴、方文茹．关于线性回归教学的一点建议[J]．数学通报．2007（8）：19-20.

[3] 严兴光．两个变量的线性相关教学设计（第三课时）．中小学数学（高中版）．2010（12）： 29-34.