割线定理（初中奥数培优-平面几何03）

题目：

割线定理（初中奥数培优-平面几何03）

正方形ABCD，E是CD上一点，F是AE上一点，AF=AB,G是AD上一点，BF⊥FG，EF=1,AG=2,

知识点回顾：

共圆性质定理

圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°（即图中∠DAB+∠DCB=180°, ∠ABC+∠ADC=180°）∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）△ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割线定理）EF²= EB*EA=EC*ED（切割线定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

共圆判定定理

方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两个三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

正方形性质定理

两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直。四个角都是90°，内角和为360°。对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性。正方形是特殊的矩形，正方形是特殊的菱形。

粉丝解法1：

连接BG,可知AGFB四点共圆，根据角度关系，可证GFC三点共线，以及∠GBC=∠GCB，所以G为AD中点，正方形边长为4，根据平行与勾股定理，算出GF=6√5/5

粉丝解法2：

这题模式识别，识别或发现出隐圆模型(A为圆心)以及4点共圆对角和180度模型，可知BFD为135度，GFD为46度。对着直观图形想到完形补美，故延长BF交DC于H点，DGFH4点共圆，多个45度角，故GDH为等腰直角，GD=DH，AG=CH=2，HE=EF=EC=1，角HFC为直角，GFC三点共线。剩余省略。

粉丝解法3：

解析几何法

解：以A为原点，射线AB为x轴正方向，射线AD为y轴正方向建立平面直角坐标系，

设正方形ABCD边长为a (a＞2)，

则A(0，0) B(a，0) D(0，a) G(0，2)

设lAE: y＝kx

很容易知道yE/|AE|＝k/√(1+k²)

yE＝a，|AE|＝|FE|＋|AF|＝1+a

带入，可解得

k＝a/√(2a＋1)

F(a√(2a+1)/(a+1)，a²/(a+1))

根据F、B、G三点坐标可求得

kFB＝a/[√(2a+1)-(a+1)]

kFG＝(a²-2a-2)/[a√(2a+1)]

kFB·kFG＝-1

带入化简，可得

(a+1)[a-1-√(2a+1)]＝0

a+1＞0所以a-1＝√(2a+1)

解得a＝4

所以F(12/5，16/5)

然后，由两点间距离公式

可求得

|FG|

＝√[(12/5－0)²+(16/5－2)²]

＝(6/5)√5

粉丝解法4：

先算出正方形边长，再根据比例和勾股定理算出结果。

粉丝解法5：

粉丝解法6：

分两步来解题。

第一步证明出正方形连长值。连接BG，Rt△BGF和Rt△

BGA共斜边，所以A、G、F、B四点共圆，如图，延长BF交CD于H，则图中圆周角∠1=∠2，利用两角和90度可证明∠1= ∠3，加上AB=BC，故有△B√AG与△BCH全等，CH=AG=2。又，很容易证明△EFH和△ABF相似，则△EFH也是等腰△，EF=EH=1。连接CF，综上可知，在△CFH中，E是CH的中点，且EF=EH=EC=1，故△CFH是Rt△，也就是BH与CF垂直，而GF也和BH垂直，所以C、F 、G三点共线。很容易证得△CGD也和△BCH全等，GD=2。则AD=4，即正方形连长为4。

第二步算出GF的长。很容易证得Rt△CFH和Rt△CDG相似，而根据以上证明可知△CGD中两直角边之比为1:2，可算出CG=2√5。同样，△CFH中两直角边之比也为1:2,可算出CF=4√5/5，则BG=6√5/5，即为所求。

粉丝解法7：

粉丝解法8：

粉丝解法9：

粉丝解法10：

延长BF，交DC于H

∵AF＝AD＝AB

∴＜ABF＝＜AFB＝＜EHF

＝＜EFH，∴EF＝EH＝1

∵＜GFH＝＜GDH＝90°

∴G、D、H、F四点共圆

∴＜CHF＝＜DGF